Álgebra y Geometría Analítica

Unidad 1:

Nociones de Lógica Formal. Conjuntos. Relaciones.

Cálculo proposicional: Proposiciones. Conectivos. Operaciones proposicionales: negación, conjunción, disyunción, diferencia simétrica, implicación, doble implicación. Tablas de verdad. Enunciados compuestos. Fórmulas equivalentes. Principales leyes lógicas. Circuitos lógicos. Cálculo funcional. función proposicional. Conjunto de verdad. Cuantificación. Relaciones lógicas: relación de implicación y de doble implicación. Implicaciones asociadas. Razonamientos seductivos.

Conjuntos: conceptos primitivos. Axiomas: de Extensión. De Extensión. Axioma de Especificación. Axioma de la Potencia. Operaciones de Boole. Propiedades. Demostraciones de las leyes del álgebra de conjuntos. Problemas de Conteo.

Relaciones: producto cartesiano de dos conjuntos. Relación binaria. Representación. Dominio e imagen. Propiedades de las relaciones. Equivalencia y orden.

Estructuras algebraicas: grupo; Anillo; Cuerpo.

Leyes de composición interna. Propiedades. Elementos distinguidos.

Leyes de composición externa. Homomorfismos. Isomorfismos.

Estructura de grupo. Propiedades.

Estructura de anillo. Propiedades.

Estructura de cuerpo. Propiedades.

Unidad 2:

Combinatoria:

Notación sumatoria. Propiedades. Principio de Inducción completa.

Función factorial. Números combinatorios. Propiedades.

Potencia enésima de un binomio. Desarrollo de Newton.

Cálculo combinatorio: Variaciones. Permutaciones. Combinaciones.

Simples y con repetición. Resolución de problemas de aplicación.

Unidad 3:

Polinomios. Ecuaciones polinómicas

Polinomio en una indeterminada x. Propiedades algebraicas de los polinomios: igualdad, suma y producto en R[x]. La indeterminada x. Notación común para los polinomios. Polinomio formal. Operaciones enteras con polinomios. Algoritmo del cociente. Regla de Ruffini. Teorema del resto. Divisibilidad.

Ecuaciones algebraicas. Teorema del número de raíces. Teorema fundamental de Álgebra. Forma factorial de las ecuaciones algebraicas. Acotación de raíces reales. Regla de Laguerre- Thibault. Raíces Reales. Raíces imaginarias-.

Unidad 4:

Elementos de Geometría Analítica:

Recta en el plano. Distintas formas de la ecuación de la recta.

Paralelismo. Perpendicularidad. Intersección de recta.

Cónicas: sus ecuaciones y estudio.

Geometría analítica del Espacio. Puntos, rectas y planos en el espacio. Superficies.

Unidad 5:

Espacios Vectoriales- Matrices

Estructura del Espacio Vectorial. Consecuencias elementales de los Axiomas- Subespacios. Dependencia e independencia lineal- Transformación lineal.

Matriz. Concepto. Igualdad. Suma. Multiplicación por un escalar. Espacio vectorial de matrices mxn. Multiplicación de una matriz por otra. Propiedades de la multiplicación. Matrices cuadradas. Anillo de matrices cuadradas. Trasposición de matrices- matrices especiales: simétricas, antisimétricas, triangulares, diagonales, escalares. Matriz inversa. Matriz ortogonal. Espacio fila y espacio columna de una matriz. Rango. Operaciones elementales. Método de Gauss- Jordan para determinar el rango. Inversión por Gauss- Jordan.

Unidad 6:

Determinantes

La función determinante. Axiomas. Propiedades de la función determinante. Desarrollo de un determinante. Adjuntos. Desarrollo de Laplace. Determinante de la matriz traspuesta. Determinante del producto. Adjunta de una matriz cuadrada. Fórmula para calcular la inversa de una matriz cuadrada no singular. Algunas aplicaciones a la Geometría Analítica.

Unidad 7:

Sistema de Ecuaciones Lineales

Definiciones previas. Transformación lineal. Conjunto solución de un sistema lineal. Compatibilidad e incompatibilidad de un sistema lineal. Resolución de sistemas normales. Teorema Cramer. Resolución de sistemas no normales: Teorema de Rouché-Frobenius. Discusión y resolución de un sistema Gauss- Jordan. Elimicación gaussiana.

Sistemas lineales homogéneos.

Aplicación para la resolución de problemas.

Unidad 8:

Introducción a la Teoría de Grafos-Árboles:

Grafos planos. Aristas. Grafos conexos.

Gráficos eulerianos.

Dígrafos.

Grafos y matrices.

Ciclos y árboles.

Contenidos Mínimos:
Lógica formal. Teoría de conjuntos. Lógica de relaciones- Estructuras Algebraicas. Combinatoria. Espacios vectoriales. Álgebra Lineal. Geometría Analítica. Teoría de las estructuras discretas, definiciones y pruebas estructurales.