Análisis Matemático I

Bolilla I - Funciones de Variables Real:
Concepto de Función. Representación Cartesiana. Dominio. Imágen. Campo de Existencia. Formas de definir una función.
Funciones particulares: idéntica, constante, lineal.
Funciones pares e impares.
Ceros de una función.
Clasificación de funciones. Composición de funciones. Funciones inversas.
Funciones elementales.
Funciones trigonométricas.
Funciones logarítmica y exponencial.

Bolilla II - Conjunto de Números Reales:
Conjunto acotado. Ínfimo y supremo. Mínimo. Máximo.
Conjunto de puntos en la real recta: Intervalos de números reales. Entorno de un punto, entorno reducido de un punto.
Punto de acumulación, punto inferior, punto frontera y punto de un conjunto.
Conjunto abierto. Conjunto Cerrado.

Bolilla III - Límite y Continuidad:
Límite finito de una función en un punto. Definición. Límites laterales.
Propiedades de los límites finitos.
Infinitésimos. Principales teoremas sobre límites (álgebra de límites).
Límites de funciones trascendentes.
Límites generalizados: Límite infinito. Límite en el infinito. Asíntotas.
Funciones continuas.
Funciones continuas. Continuidad de la función compuesta.
Propiedades de las funciones continuas en un intervalo cerrado: Teorema del valor Intermedio; Teorema de Bolzano; Teorema de Weierstras.

Bolilla IV - Derivada y Diferencial:
Incremento. Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto. Función derivada.
Cálculo de derivadas.
Continuidad de la función derivable en un punto.
Álgebra de derivadas. Derivada de función compuesta. Derivada de funciones implicitas. Derivación logarítmica. Derivación de la función inversa..
Derivadas laterales. Derivadas infinitas. Derivadas sucesivas.
Tabla de derivadas.
Recta tangente y recta normal a una curva en un punto.
Tasa de crecimiento o razón de cambio de una función.
Diferencial de una función en un punto. Interpretación geométrica.
Aproximación del valor de una función en un punto.

Bolilla V - Variación de funciones:
Crecimiento de decrecimiento en un punto. Teorema fundamental de una variación de funciones. Máximos y Mínimos relativos.
Condición necesaria para la existencia de máximos y mínimos relativos en funciones derivables. Teorema del punto crítico.
Máximos y mínimos absolutos.
Criterios de la derivada primera y de la derivada segunda para la determinación de máximos y mínimos relativos.
Propiedades de la función derivables:
Teorema de Rolle; de Los Incrementos Finitos de Cauchy; del Valor Medio de Lagrange; Fundamental del Cálculo Integral.
Teorema Generalizado del Valor Medio. Fórmula de Taylor con Resto.
Fórmula de Maclaurin.
Regla de L'Hopital para el cálculo de límites indeterminados.
Concavidad, convexidad, punto de inflexión.
Estudio completo de funciones.

Bolilla VI - Integral Indefinida:
Antidiferenciación. Propiedades. Tabla de Integrales elementales.
Método de integración: por Descomposición; por Sustitución; por Partes.
Integración de funciones racionales por descomposición en fracciones simples.

Bolilla VII - Integral Definida y Generalizada:
Conceptos previos: Subdivisión de un intervalo; Norma de una subdivisión; Aumento y afinamiento de una subdivisión.
Integral Definida: Sumas de Riemman. Lema de Darboux. Propiedades. Teorema de Acotación de la integral definida de una función continua. Teorema del Valor Medio.
Función Integral. Teorema fundamental II del Cálculo Integral. Regla de Barrow-Newton.
Área de una región limitada por curvas.
Integrales impropias o generalizadas.

Bolilla VIII - Sucesiones Numéricas:

Sucesiones:
Conjuntos ordenados y conjuntos numerados. Sucesiones. Sucesiones de números reales. Enésimo término. Definiciones por recurrencia.
Sucesiones monótonas. Sucesión acotada.
Límite de una sucesión. Sucesiones convergentes y sucesiones divergentes.
Criterio de convergencia de Cauchy.
El Número "e" como límite de una sucesión convergente.

Contenidos Mínimos:
El Número real. Funciones de una variable. El límite funcional. Funciones contínuas. 
Sucesiones numéricas. Derivada y Diferencial. Integrales indefinidas. Integrales definidas. Integrales impropias.

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